Composición de funciones - conceptos y ejemplos

Concepto de composición de funciones

Si tenemos dos funciones: $f(x)$ y $g(x)$ , de modo que el dominio de la segunda esté incluido en el recorrido o codominio de la primera, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de $f(x)$ el valor de $g[f(x)]$ , a esto se le conoce como composición de funciones $(g \ o \ f)(x)= g[f(x)]$ (se lee $f$ seguida de $g$ ).

Propiedades de la composición de funciones

1 Asociativa.

$f \ o \ (g \ o \ h)=(f \ o \ g) \ o \ h$

2 No es conmutativa.

$f \ o \ g \neq g \ o \ f$

3 El elemento neutro es la función identidad, $i(x) = x$ .

$f \ o \ i= i \ o \ f=f$

4 La inversa de la composición de dos funciones es:

$(g \ o \ f)^{-1}= f^{-1} \ o \ g^{-1}$

El límite de una función

El límite de la función $f(x)$ en el punto $x_0$ , es el valor al que se acercan las imágenes (las $f(x)=y$ , puntos del codominio) cuando los puntos del dominio (las $x$ ) se acercan al valor $x_0$ . Es decir, diremos que $L$ es el límite de $f(x)$ cuando los puntos del dominio $x$ tienden a $f(x)$ es $L$ .

A la proposición $L$ es el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ , la denotamos así:

${ L=\lim_{x\rightarrow x_0 }f(x) }$

Algunas propiedades sobre el infinito y valores indeterminados.

Cuando se opera con límites de funciones se trabaja con el conjunto R ampliado, es decir, el conjunto de los números reales al que se le han añadido los entes numéricos: +, -. Conviene, por tanto, tener claras algunas propiedades de estos entes, así como valores que son indeterminados en este conjunto:

* Para cualquier número n (incluido el 0): n/= 0.

* Para cualquier número n positivo (distinto de 0): n .+= +, n .(-)= -.

* Para cualquier número n negativo (distinto de 0): n .+= -, n .(-)= +.

* Para el caso del 0: 0 . + y 0 . (-) son Indeterminados.

* Para números n positivos +/n = +, pero para n negativos +/n = -.

* Para el caso del 0: +/0 = , así como -/0 = , pero en ambos casos el signo del infinito es Indeterminado . Algo similar sucede cuando dividimos un número entre cero: 3/0 = , -3/0 = (el signo del infinito es indeterminado, aunque sí podemos asegurar lo que sucede tanto a la derecha de 0, como a la izquierda de 0 ).

* Asimismo son Indeterminados:

/ (con cualquier signo), -, 0/0 , 0° , ° (cualq. signo).

La mayoría de estas relaciones son muy lógicas si nos acostumbramos a imaginar a +, como 1/(+0), y a -, como -1/(+0) -entendiendo por +0 un número positivo muy pequeño-.

TAREA

1,- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES, usando tabla de valores